Acute angle theorem

定理表述

设 $C \subset \mathbb R^n$ 是一个开有界集（open bounded set），$F:\overline C \to \mathbb R^n$ 是连续映射（continuous mapping）。若存在某个内点（interior point）$x^0 \in C$，使得对所有边界点（boundary point）$x \in \partial C$ 都有

$$(x-x^0)^T F(x)\ge 0,$$

则方程

$$F(x)=0$$

至少在 $C$ 中存在一个解。

上面的符号 $\ge$ 也可以改成 $\le$，结论同样成立；这时只要把向量场（vector field）$F$ 换成 $-F$ 即可。

这句话在说什么

可以把 $F(x)$ 看成定义在区域 $\overline C$ 上的向量场（vector field）。条件

$$(x-x^0)^T F(x)\ge 0$$

表示当 $x$ 落在边界 $\partial C$ 上时，向量 $F(x)$ 与从固定内点 $x^0$ 指向边界点 $x$ 的方向之间夹角不超过 $90^\circ$。也就是说，$F(x)$ 在边界上不会整体“朝回指向”中心点 $x^0$。

这里要特别注意：$x-x^0$ 只是从内部点 $x^0$ 指向边界点 $x$ 的径向方向（radial direction），它一般并不等于边界的外法向（outward normal direction）。只有在很特殊的情形下，比如 $C$ 是以 $x^0$ 为中心的球，这两个方向才会一致。

一个直观理解

锐角定理（acute angle theorem）本质上是一个存在性结论（existence result）。它并不直接告诉我们零点（zero）在哪里，但它告诉我们：只要边界上的向量场满足合适的角度条件（angle condition），那么区域内部就一定存在一个点，使得

$$F(x)=0.$$

如果进一步处在梯度情形（gradient case），也就是 $F=\nabla f$，那么这个零点就对应于函数 $f$ 的一个驻点（stationary point）。但需要注意，锐角定理本身保证的是“存在零点”，并不直接区分这个驻点是局部极大值（local maximum）、局部极小值（local minimum）还是鞍点（saddle point）。

很多教材会把这个结果看作 Brouwer 不动点定理、拓扑度理论或变分不等式存在性证明中的一个标准工具。

实际应用

锐角定理在证明存在性结论（existence result）时非常有用。一个常见场景是：我们希望证明算法得到的估计量（estimator）$\hat\theta$ 落在真实参数（true parameter）$\theta^*$ 的某个邻域（neighborhood）内，并且满足一阶条件（first-order condition）。

这时通常把

$$F(\theta)=s(\theta)$$

取为损失函数的 score function，或者更一般的 $M$-估计方程（$M$-estimating equation），然后在 $\theta^*$ 附近构造一个小邻域

$$C=\{\theta:\|\theta-\theta^*\|<r\}.$$

接下来只要能在边界 $\partial C$ 上验证

$$(\theta-\theta^*)^T s(\theta)\ge 0 \quad\text{或}\quad (\theta-\theta^*)^T s(\theta)\le 0,$$

也就是说，这个内积（inner product）在整个边界上始终保持同号（same sign），那么由锐角定理就可以推出：存在某个

$$\hat\theta\in C$$

使得

$$s(\hat\theta)=0.$$

这说明在真实参数 $\theta^*$ 的附近，至少存在一个满足 score 方程（score equation）的解。若进一步有

$$s(\theta)=\nabla_\theta L(\theta),$$

那么这就表示损失函数（loss function）$L(\theta)$ 在该邻域内至少存在一个驻点（stationary point）。再结合局部凸性（local convexity）、局部凹性（local concavity）或 Hessian 的符号条件，才能进一步判断这个驻点是局部极小值、局部极大值，还是其他类型的临界点（critical point）。